У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 12?

Два игрока, Паша и Валя, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может (1) добавить в кучу один камень или (2) увеличить количество камней в куче в два раза или (3) увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 30 или 45 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 42. Если при этом в куче оказалось не более 72 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Например, если в куче было 30 камней и Паша утроит количество камней в куче, то игра закончится и победителем будет Валя. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 41.Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока - значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.Выполните следующие задания.1. а) При каких значениях числа S Паша может выиграть в один ход? Укажите все такие значения и соответствующие ходы Паши.б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 37, 38, 39, 40? Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.2. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 13? Опишите соответствующие выигрышные стратегии.3. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 12? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах - количество камней в позиции. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Выполнены второе и третье задания.Для первого задания правильно перечислены позиции, в которых Паша выигрывает первым ходом (пункт 1(а)), и правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию при указанных значениях S (пункт 1(б)). При этом допускаются недочёты следующих типов:— в п. 1(а) не указано, каким ходом выигрывает Паша;— в п. 1(б) не указано, что игрокам нет смысла утраивать количество камней в куче.Здесь и далее в решениях допускаются арифметические ошибки, которые не искажают сути решения и не приводят к неправильному ответу | 3 | Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 балла, и выполнено одно из следующих условий:— выполнено третье задание;— выполнены первое и второе задания;— первое задание выполнено, возможно, при наличии недочётов, указанных в критериях на 3 балла; для второго задания (i) правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию в каждой из указанных позиций, и (ii) правильно указан первый ход Паши при выигрышной стратегии, однако не указано, что после выбранного хода Паши получается позиция, выигрышная для Вали; для третьего задания правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию | 2 | Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 или 2 балла, и выполнено одно из следующих условий:— первое задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на 3 балла;— второе задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на 2 балла;— для заданий 2 и 3 во всех случаях правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию | 1 | Не выполнено ни одно из условий, позволяющих поставить 3, 2 или 1 балл | 0 | Максимальный балл | 3 |