Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок можетдобавить в одну из куч один камень илиувеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из четырёх позиций: (7, 9), (12, 9), (6, 10), (6, 18). Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 62. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 62 или больше камней.В начальный момент в первой куче было 10 камней, во второй куче — S камней, 1 ≤ S ≤ 51.Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по ней игрока, которые не являются для него безусловно выигрышными, то есть не гарантируют выигрыш независимо от игры противника.Выполните следующие задания.Задание 1.а) Назовите все значения S, при которых Петя может выиграть первым ходом, причём у Пети есть ровно один выигрывающий ход.б) Назовите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть первым ходом в случае неудачного первого хода Пети.Задание 2.Укажите такое значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть первым ходом, но может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.Задание 3.Укажите такое значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). В узлах дерева указывайте игровые позиции. Дерево не должно содержать партий, невозможных при реализации выигрывающим игроком своей выигрышной стратегии. Например, полное дерево игры не будет верным ответом на это задание. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Выполнены второе и третье задания.Для первого задания правильно перечислены позиции, в которых Паша выигрывает первым ходом (пункт 1(а)), и правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию при указанных значениях S (пункт 1(б)). При этом допускаются недочёты следующих типов:— в п. 1(а) не указано, каким ходом выигрывает Паша;— в п. 1(б) не указано, что игрокам нет смысла утраивать количество камней в куче.Здесь и далее в решениях допускаются арифметические ошибки, которые не искажают сути решения и не приводят к неправильному ответу | 3 | Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 балла, и выполнено одно из следующих условий:— выполнено третье задание;— выполнены первое и второе задания;— первое задание выполнено, возможно, при наличии недочётов, указанных в критериях на 3 балла; для второго задания (i) правильно указано, кто из игроков имеет выигрышную стратегию в каждой из указанных позиций, и (ii) правильно указан первый ход Паши при выигрышной стратегии, однако не указано, что после выбранного хода Паши получается позиция, выигрышная для Вали; для третьего задания правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию | 2 | Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 или 2 балла, и выполнено одно из следующих условий:— первое задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на 3 балла;— второе задание выполнено, возможно, с недочётами, указанными в критериях на 2 балла;— для заданий 2 и 3 во всех случаях правильно указан игрок, имеющий выигрышную стратегию | 1 | Не выполнено ни одно из условий, позволяющих поставить 3, 2 или 1 балл | 0 | Максимальный балл | 3 |