Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии

Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 17 или 45 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 51. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 51 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 50. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ. Задание 1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S. б) Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи. Задание 2. Укажите два таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём (а) Паша не может выиграть за один ход и (б) Паша может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Паши. Задание 3. Укажите значение S, при котором: — у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, и — у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах - количество камней в В задаче от ученика требуется выполнить три задания. Их трудность возрастает. Количество баллов в целом соответствует количеству выполненных заданий (подробнее см. ниже). Ошибка в решении, не искажающая основного замысла и не приведшая к неверному ответу, например арифметическая ошибка при вычислении количества камней в заключительной позиции, при оценке решения не учитывается. Первое задание считается выполненным полностью, если выполнены полностью оба пункта: а) и б). Пункт а) считается выполненным полностью, если правильно указаны все позиции, в которых Паша выигрывает первым ходом, и указано, каким должен быть первый ход. Пункт б) считается выполненным полностью, если правильно указана позиция, в которой Вася выигрывает первым ходом, и описана стратегия Васи, то есть показано, как Вася может получить кучу, в которой содержится нужное количество камней, при любом ходе Паши. Первое задание считается выполненным частично, если: а) правильно указаны все позиции, в которых Паша выигрывает первым ходом; б) правильно указана позиция, в которой Вася выигрывает первым ходом, и явно сказано, что при любом ходе Паши Вася может получить кучу, которая содержит нужное для выигрыша количество камней. Отличие от выполненного полностью задания состоит в том, что не указаны явно ходы, которыми выиграет Паша или Вася.Второе задание выполнено, если правильно указаны обе позиции, выигрышные для Паши, и описана соответствующая стратегия Паши — так, как это написано в примере решения, или другим способом, например, с помощью дерева всех партий, возможных при выбранной стратегии Паши.Третье задание выполнено, если правильно указана хотя бы одна позиция, выигрышная для Васи, и для этой позиции построено дерево всех партий, возможных при Васиной стратегии. Должно быть явно сказано, что в этом дереве в каждой позиции, где должен ходить Паша, разобраны все возможные ходы, а для позиций, где должен ходить Вася, - только ход, соответствующий стратегии, которую выбрал Вася. Во всех случаях стратегии могут быть описаны так, как это сделано в примере решения или другим способом. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Выполнены второе и третье задания. Первое задание выполнено полностью или частично. Здесь и далее в решениях допускаются арифметические ошибки, которые не искажают сути решения и не приводят к неправильному ответу. | 3 | Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 балла,и выполнено одно из следующих условий.− Третье задание выполнено полностью.− Первое и второе задания выполнены полностью.− Первое задание выполнено полностью или частично, для второго и третьего заданий указаны правильные значения S. | 2 | Не выполнены условия, позволяющие поставить 3 или 2 балла, и выполнено одно из следующих условий.− Первое задание выполнено полностью.− Во втором задании правильно указано одно из двух возможных значений S, и для этого значения указана и обоснована выигрышная стратегия Пети.− Первое задание выполнено частично, и для одного из остальных заданий правильно указано значение S.− Для второго и третьего заданий правильно указаны значения S. | 1 | Не выполнено ни одно из условий, позволяющих поставить 3, 2 или 1 балл. | 0 | Максимальный балл | 3 |