При каких трёхзначных числах программа напечатает «ДА»: x % 7 == 3 and x % 5 == 2

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Переводим условия программы на язык остатков

   Оператор % возвращает остаток от деления. Значит, условие программы означает одновременно:

   • $x$ при делении на 7 даёт остаток 3, то есть $x = 7a + 3$ для некоторого целого $a \ge 0$;
   • $x$ при делении на 5 даёт остаток 2, то есть $x = 5b + 2$ для некоторого целого $b \ge 0$.

   Заметим сразу: остаток всегда меньше делителя, поэтому оба условия непротиворечивы ($3 < 7$, $2 < 5$). Перебирать все 900 трёхзначных чисел не нужно — достаточно найти одно подходящее число и понять, с каким шагом идут остальные.

2. 2

   Шаг 2. Ищем первое подходящее число и период повторения

   Удобно перебирать числа вида $5b + 2$ (их реже) и проверять остаток при делении на 7:

   $x$	2	7	12	17
   $x \bmod 7$	2	0	5	3

   Первое подходящее число — $x = 17$.

   Теперь про период. Если $x$ подходит, то и $x + d$ подходит ровно тогда, когда $d$ делится и на 7, и на 5. Наименьшее такое $d$ — это $\text{НОК}(7,5) = 35$ (числа взаимно просты, поэтому НОК равен произведению).

   Значит, все решения имеют вид $x = 35k + 17$. Осталось выбрать из них трёхзначные.