Математика
Стереометрическая задача: страница 2
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
Дан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC, $\cosДан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC, $\cos \angle BAD = \cos \angle DAC=0,3$ а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.б) Найдите расстояние между прямыми…11 классABC. На прямой AA₁ отмечена точка D так, что A₁ — середина AD. НаВ основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник ABC. На прямой AA₁ отмечена точка D так, что A₁ — середина AD. На прямой B₁C₁ отмечена точка E так, что C₁ — середина…11 классВне плоскости правильного треугольника ABC расположена точка D, причемВне плоскости правильного треугольника ABC расположена точка D, причем $\cos \angle DAC = \cos \angle DAB = 0,2$ а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.б) Найдите расстояние между…11 классОснование ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD вписано вОснование ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси ОО₁ цилиндра (О₁ — центр верхнего основания цилиндра). Объем…11 классНа ребре BB₁ выбрана точка F так, что $B F: B_1 F=3: 5$ Угол междуВ основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC и AC = 16. На ребре BB₁ выбрана точка F так, что $B F: B_1 F=3: 5$ Угол между плоскостями AA₁C и…11 классОснованием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длинаОснованием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна $4 \sqrt{2}$ Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Точки М и N…11 классНа высоте SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD взяли точку МНа высоте SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD взяли точку М так, что SM : MO = 2 : 3. Через точку М параллельно грани ADS провели плоскость α.а) Докажите, что расстояние от прямой…11 классТочка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. a) ДокажитеТочка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. a) Докажите, что плоскость AMB₁ параллельна прямой A₁C.б) Найдите расстояние между прямой A₁C и плоскостью AMB₁, если…11 классНа высоте SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD взяли точку МНа высоте SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD взяли точку М так, что SM : MO = 1 : 4. Через точку М параллельно грани ADS провели плоскость α.а) Докажите, что расстояние от прямой…11 классТочка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. a) ДокажитеТочка M — середина ребра BC параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. a) Докажите, что плоскость AMB₁ параллельна прямой A₁C.б) Найдите расстояние между прямой A₁C и плоскостью AMB₁, если…11 классДана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромбДана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромб ABCD со стороной 10. Известно, что $SA = SC = 10 \sqrt{2} ,$ $SB = 20$ и $AC = 10$ а) Докажите, что ребро SD…11 классОснованием прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольныйОснованием прямой треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Прямые СА₁ и АВ₁ перпендикулярны. а) Докажите, что АА₁ = АС. б) Найдите расстояние…11 классОснованием треугольной призмы ABC₁B₁C₁ является правильный треугольникОснованием треугольной призмы ABC₁B₁C₁ является правильный треугольник ABC со стороной 1, а боковое ребро равно $\sqrt{2}$ Диагональ боковой грани A₁B перпендикулярна плоскости основания.…11 классДан цилиндр с центрами нижнего и верхнего оснований O₁ и O₂Дан цилиндр с центрами нижнего и верхнего оснований O₁ и O₂ соответственно. Объём цилиндра, равен $Пи \sqrt{6}$ На окружности нижнего основания выбраны точки А и В, а на боковой поверхности…11 классПлоскость α проходит через прямую ВM параллельно SN.а) Докажите, чтоВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S точки M и N середины ребер SC и AD соответственно. Плоскость α проходит через прямую ВM параллельно SN.а) Докажите, что плоскость α…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро равно 9, а высота пирамиды SO равна $3 \sqrt{5} ,$ точки М и Т — середины отрезков BC и SM соответственно. а) Докажите, что АТ — высота…11 классДиагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмыДиагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ пересекаются в точке P, а диагонали FE₁ и EF₁ боковой грани EFF₁E₁ пересекаются в точке Q.а) Докажите,…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки M и N — середины сторон AB и ADВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки M и N — середины сторон AB и AD соответственно.а) Докажите, что прямые B₁N и CM перпендикулярны.б) Найдите расстояние между этими прямыми, если $B_1N = 7…11 классЧерез вершины A₁ и C правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ проведенаЧерез вершины A₁ и C правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой BC₁. Сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2.а) Докажите, что…11 классВ основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Все боковыеВ основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Все боковые ребра наклонены к основанию под одним и тем же углом.а) Докажите, что прямые АВ и CD перпендикулярны.б) Найдите…11 классДиагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмыДиагонали BE и DF основания ABCDEF правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ пересекаются в точке P, а диагонали FE₁ и EF₁ боковой грани EFF₁E₁ пересекаются в точке Q.а) Докажите,…11 классЧерез вершины A и B₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ проведенаЧерез вершины A и B₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ проведена плоскость α, параллельная прямой CA₁. Сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2.а) Докажите, что…11 классОснованием треугольной пирамиды SABC является равностороннийОснованием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС со стороной $4 \sqrt{2}$ Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Точки E и D — середины…11 классНа боковом ребре АА₁, равном 4, выбрана точка М такая, что угол ВМС₁Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, АВ = ВС = 2. На боковом ребре АА₁, равном 4, выбрана точка М такая, что угол ВМС₁ —…11 классДлины боковых ребер пирамиды равны $SA = \sqrt{3} ,$ $SB = 2 \sqrt{7}В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 и BC = 6. Длины боковых ребер пирамиды равны $SA = \sqrt{3} ,$ $SB = 2 \sqrt{7} ,$ $SD = \sqrt{39}$…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 1. а) Докажите, что $BD_1\perp AC$ б) Найдите расстояние от точки C до прямой BD₁. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Имеется верное…11 классD. Боковое ребро пирамиды равно $\sqrt{43} ,$ высота равна $\sqrt{31}$Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно $\sqrt{43} ,$ высота равна $\sqrt{31}$ а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середины…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.а) Докажите, что точки D₁, E и F₁ лежат на сфере с центром в точке B.б) Найдите расстояние от точки B до прямой F₁E₁.…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 1, а ребро основания равно 2.а) Докажите, что объем пирамиды $A_1BCC_1B_1$ вдвое больше объема пирамиды $ACBС_1$ б) Найдите расстояние…11 класс1. а) Докажите, что расстояние от точки C до плоскости $ADD_1$ меньшеВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 1. а) Докажите, что расстояние от точки C до плоскости $ADD_1$ меньше, чем расстояние от точки C до прямой $AD_1$ б) Найдите расстояние от точки C до…11 классДана правильная треугольной призма ABCA₁B₁C₁ а) Докажите, что плоскостьДана правильная треугольной призма ABCA₁B₁C₁ а) Докажите, что плоскость α, проходящая через прямую AB₁ и центр грани ACC₁A₁, делит объем призмы в отношении 2 : 1.б) Пусть высота призмы…11 классD. Сторона основания пирамиды равна $\sqrt{6} ,$ высота равнаДана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна $\sqrt{6} ,$ высота равна $\sqrt{30}$ а) Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового…11 классD Боковое ребро пирамиды равно $\sqrt{46} ,$ высота равна $\sqrt{19}$Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D Боковое ребро пирамиды равно $\sqrt{46} ,$ высота равна $\sqrt{19}$ а) Докажите, что сечение пирамиды, проходящее через середины ребер…11 классD. Сторона основания пирамиды равна $\sqrt{12} ,$ высота равнаДана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна $\sqrt{12} ,$ высота равна $\sqrt{5}$ а) Докажите, что сечение, проходящее через середину бокового…11 классДлины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁Длины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 16 и 15.а) Докажите, что объем пирамиды A₁BDC₁ втрое меньше объема параллелепипеда.б) Найдите…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 корень из 2 Точки М и Т — серединыДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 корень из 2 Точки М и Т — середины ребер AD и A₁B₁ соответственно.а) Докажите, что $A_1C_1\perp MT$ б) Найдите расстояние от середины ребра B₁C₁ до прямой…11 классВ тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребраВ тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, отметили середину ребра CD — точку E.а) Докажите, что плоскость ABE перпендикулярна ребру CD.б) Найдите расстояние от точки A до прямой BE.…11 классВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.а) Докажите, что прямые SE и AC перпендикулярны.б) Найдите расстояние от точки C до прямой SA.…11 классВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, сторона основания равна 1В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, сторона основания равна 1, а боковое ребро равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ а) Докажите, что прямые AS и BD перпендикулярны. б) Найдите расстояние от…11 классВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.а) Докажите, что прямые SC и AE перпендикулярны.б) Найдите расстояние от точки C до прямой…11 класс
