Математика
Стереометрическая задача: страница 16
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
Критерии оценивания выполнения заданияВ правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=15 \sqrt{3} ,$ SC = 17. а) Докажите, что $AS\perp BC$ б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,…11 классОснованием ABC известны ребра $AB=8 \sqrt{3} , SC=10$ а) Докажите, чтоВ правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=8 \sqrt{3} , SC=10$ а) Докажите, что $AS\perp BC$ б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,…11 классОснованием ABC известны ребра $AB=20 \sqrt{3} , SC=29$ а) Докажите, чтоВ правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=20 \sqrt{3} , SC=29$ а) Докажите, что $AS\perp BC$ б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,…11 классM — середина ребра AS а) Докажите, что проекции точек S и M наВ правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: $AB=21 \sqrt{3} ,$ SC = 29. M — середина ребра AS а) Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят…11 классОснованием ABC известны рёбра: $AB=35 \sqrt{3} ,SC=37$ а) Докажите, чтоВ правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: $AB=35 \sqrt{3} ,SC=37$ а) Докажите, что $AS\perp BC$ б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой,…11 классОснованием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольникОснованием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC, с гипотенузой AB = 5, и катетом $BC= \sqrt{5}$ Высота призмы равна $\sqrt{3}$ а) $C_1H$ − высота треугольника…11 классОснованием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренныйОснованием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC,AB=AC=13,BC=24$ Высота призмы равна 5. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, содержащей ребро $AA_1$ и…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны AB = 1, AD = AA₁В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны AB = 1, AD = AA₁ = 2. а) Пусть $B_1E$ — высота треугольника $BB_1C_1$ Докажите, что AE — проекция $AB_1$ на плоскость $ABC_1$ б)…11 классНайдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.а) Докажите, что в правильной треугольной пирамиде SABC, где S — вершина пирамиды, $SC\perp AB$ б) Высота SO составляет $\frac{4}{5}$ от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между…11 классВ правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD. а) Докажите, чтоВ правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD. а) Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.б) Найдите угол…11 классДлины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной PДлины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки B…11 классВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известны рёбра: AB $=4В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ известны рёбра: AB $=4 \sqrt{2} ,$ AA₁ = 4. Точка M — середина ребра BC.а) Докажите, что прямые B₁C и C₁M перпендикулярны.б) Найдите угол между…11 классABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны.В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α,…11 классДана пирамида SABC, в которой $SC=SB= \sqrt{17} ,$ $AB=AC= \sqrt{29} ,$Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB= \sqrt{17} ,$ $AB=AC= \sqrt{29} ,$ $SA=BC=2 корень из 5$ а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью…11 классДлины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной PДлины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны 2. а) Докажите, что противоположные боковые ребра этой пирамиды взаимно перпендикулярны.б) Найдите угол между…11 классABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны.В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость…11 классВ пирамиде SABC известны длины рёбер: $AB = AC = \sqrt{29} ,$ $BC = SAВ пирамиде SABC известны длины рёбер: $AB = AC = \sqrt{29} ,$ $BC = SA = 2 \sqrt{5} ,$ $SB = SC = \sqrt{13}$ а) Докажите, что прямая SA перпендикулярна прямой BC.б) Найдите угол между…11 классВ правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB вВ правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB в отношении $\frac{2}{3} ,$ считая от вершины A, точка K — делит сторону BC в отношении $\frac{2}{3} ,$ считая от вершины…11 классТочка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AMВ основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.а)…11 классТочка M — середина ребра A₁C₁, а точка O — точка пересечения диагоналейВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра A₁C₁, а точка O — точка пересечения диагоналей боковой грани ABB₁A₁.а)…11 классТочка K — середина ребра AB, точка О — центр вписанной окружностиВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания $AB=6 \sqrt{3}$ На ребре BC отмечена точка M так, что BC : MC = 3 : 1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN : NC = 2 : 1.…11 классВ правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центрВ правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.а) Докажите, что прямые BC и KM параллельны.б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD. Критерии…11 классОснование ABCD призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — трапеция с основаниями AB =Основание ABCD призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — трапеция с основаниями AB = 2CD.а) Докажите, что плоскость $BA_1D_1$ проходит через середину бокового ребра $CC_1$ б) Найдите угол между боковым…11 классТочка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношенииВ основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC = 1:3.а)…11 классТочка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.а) Докажите, чтоТочка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.б) Найдите угол между прямой DM и…11 классВ основании пирамиды SABCD лежит ромб АВСD, сторона которого равна 8, аВ основании пирамиды SABCD лежит ромб АВСD, сторона которого равна 8, а угол при вершине A равен 60°. Известно, что SA = 15, $SC= \sqrt{33}$ и, кроме того, SB = SD.а) Докажите, что SC —…11 классНа ребрах BS и CS правильной четырехугольной пирамиды SABCD cо сторонойНа ребрах BS и CS правильной четырехугольной пирамиды SABCD cо стороной основания AD = 10 и боковым ребром $SA=5 \sqrt{6}$ взяты точки K и M соответственно так, что $SK:BK=CM:SM=3:2$ а)…11 классТочка O — точка пересечения диагоналей грани CDD₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.Точка O — точка пересечения диагоналей грани CDD₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Плоскость DA₁C₁ пересекает диагональ BD₁ в точке F.а) Докажите, что $BF:FD_1=A_1F:FO$ б) Точки M и N — середины ребер…11 классДана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторонаДана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 4. Через точку A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой DC₁.а)…11 классДана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторонаДана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 4. Через точку D проведена плоскость α, перпендикулярная прямой AF₁.а)…11 классТочка O — центр грани A₁B₁C₁D₁ прямоугольного параллелепипедаТочка O — центр грани A₁B₁C₁D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Сечения параллелепипеда плоскостями AOB и BOC являются прямоугольниками, стороны AB и BC этих сечений в 3 раза…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны углы: $\angleВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны углы: $\angle C_1AA_1 = альфа ,$ $\angle C_1AB = бета ,$ $\angle C_1AD = гамма$ а) Докажите, что $\cos^{2} альфа + \cos^{2} бета +…11 классТочка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AMВ основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC…11 классДан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, O — центр граниДан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, O — центр грани A₁B₁C₁D₁. Плоскости (AOB) и (BOC) — прямоугольники, и стороны AB и CD являются их меньшими сторонами. AB и BC в 2 раза меньше…11 классТочки K и M — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.а) Докажите, чтоВ основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точки K и M — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.а) Докажите, что KM =…11 классТочка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AMВ основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC…11 классТочка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AMВ основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K — середина ребра A₁B₁, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC…11 классДлина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Точка M — серединаДлина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Точка M — середина ребра BC, точка L — середина ребра AB.а) Докажите, что плоскость, параллельная прямой CL и содержащая прямую DM, делит…11 классДокажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.б) Найдите площадьВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен $2 \sqrt{\frac{2}{5}}$ а) Пусть O —…11 классСторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 8.Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Высота этой призмы равна 6. а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую AB₁ и параллельная прямой CA₁ проходит через…11 класс
